本文详细讨论了线性方程组的解的情况。本文最大亮点就是给出了本人总结的二元一次线性方程组的解的情况的表格。这张表结构清晰一目了然。建议学生先推导一遍公式，然后熟记表格。最后能够独立写出表格，则考试无忧。
目录
- 二元一次线性方程组的解（中学）
- 多元一次线性方程组的解（大学）
正文
- 二元一次线性方程组的解（中学）[1]
二元线性方程组一般形式为：
其中，a1,b1,c1,a2,b2,c2是常数。
定义
其中D称为系数行列式。
线性方程组的解的情况主要有三种：1.有唯一解；2.有无穷多解；3.无解。列表如下：
表1.二元一次线性方程组的解的情况
条件 | 结果 | 解集 | 含义 | |||
D≠0 | 有唯一解 | x=Dx/D, y=Dy/D | 两条直线相交，有一个交点 | |||
D=0 | Dx,Dy不全 =0 | 无解 | Φ | 两条直线平行 | ||
Dx=Dy=0 | a1,a2,b1,b2 不全=0 | 无穷多解 | {(x,y)|a1x+b1y=c1} | 两条直线重合 | ||
a1=a2=b1=b2=0 | c1,c2不全=0 | 无解 | Φ | 错误方程，例 0*x+0*y=1 | ||
c1=c2=0 | 无穷多解 | {(x,y)|x∈R,y∈R} | 恒等方程 0*x+0*y=0 | |||
特别注意：方程组在两种情况下都有无穷多解，但解集是不同的。当D=Dx=Dy=0且a1,a2,b1,b2不全=0时，方程组的解集是一条直线。而a1=a2=b1=b2=c1=c2=0时，方程组的解集是全平面。
- 多元一次线性方程组的解（大学）[2]
在大学的《线性代数》课程中，引入了矩阵和秩的概念后，判断线性方程组的解的情况就大大简化了。线性代数研究的是n元线性方程组。n是任意自然数。
引入新的数学工具就像使用新式武器。以前用大刀长矛攻打坚固的碉堡很费劲，现在用大炮轰碉堡就像切豆腐一样。我们熟悉的情况有几个：1.初一学了列方程，小学的难题一点不难了。2.高中学了解析几何，很多几何难题也容易解了。3.大学学了微积分，很多中学时无法解的难题迎刃而解。
对于线性方程组，其解的情况主要有以下三种：
- 有唯一解：当线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且都等于未知数的个数时，方程组有唯一解。解的表达式与二元情况一致。只是行列式都是高阶的。求解公式称为克莱姆法则。
相关概念
矩阵的秩：矩阵中非零子式的最高阶数。
系数矩阵是方程组系数构成的矩阵。增广矩阵是系数矩阵增加一列等号右边的值构成的矩阵。
例如，对于方程组：
系数矩阵
增广矩阵
系数矩阵的秩为 2，增广矩阵的秩也为 2，且未知数个数为 2，所以有唯一解。
2. 无解：当线性方程组的系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，方程组无解。
比如方程组：
系数矩阵的秩为 1，增广矩阵的秩为 2，所以无解。
3. 有无穷多解：当线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且小于未知数的个数时，方程组有无穷多解。
例如方程组：
系数矩阵的秩为 2，增广矩阵的秩也为 2，但未知数个数为 3，所以有无穷多解。
判断线性方程组解的情况，通常可以通过对系数矩阵进行初等行变换，将其化为阶梯形矩阵，从而求出秩来进行判断。
